微積分隨筆：數列與級數

Course: Calculus (II)
Instructor: 莊重
Time: 2023 Spring

隨手做的，可能沒有很完整，有看到有趣的題目或是重要的定理或是我想記錄才會放上來。

Sequences

Limit of a Sequence

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=L⟺\mathrm{\forall }ϵ>0,\mathrm{\exists }Ns.t.\mathrm{\forall }n>N,|a_n-L|<ϵ$$

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=\mathrm{\infty }⟺\mathrm{\forall }M>0,\mathrm{\exists }Ns.t.\mathrm{\forall }n>N,a_n>M$$

Discrete v.s. Continuous

$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}f(x)=L,f(n)=a_n\mathrm{\forall }n\in {\mathbb{Z}}^{\mathbb{+}}⟹\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=L$$

Limit + Continuous Function

If ${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=L}$ and $f$ is continuous at $L$, then ${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}f(a_n)=f(\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n)=f(L)}$

Monotonic / Bounded

• Increasing: $a_n<a_{n+1}$
• Decreasing: $a_n>a_{n+1}$
• Monotonic: Either Increasing or Decreasing
• Bounded Above (上面有東西擋住): $\mathrm{\exists }Ms.t.a_n\le M(\mathrm{\forall }n)$
• Bounded Below (下面有東西擋住): $\mathrm{\exists }ms.t.m\le a_n(\mathrm{\forall }n)$
• Bounded Sequence: bounded above and below at the same time

Monotonic Sequence Theorem

• Increasing and Bounded Above $⟹$ convergent
• Decreasing and Bounded Below $⟹$ convergent

證明：由 LUB 公理得出存在最小上界 $L$，再利用柯西極限的定義證得。

Monotonic Sequence Theorem 很常出現在後續章節的定理證明，包括 Intergral Test、Comparison Test、Alternating Series Test (Even Partial Sum 收斂的證明)。

Series

Convergence Tests for Series

1. $a_n$ 一定要收斂到 0

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n}$ is convergent $⟹$ ${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=0}$

${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n\ne 0}$ $⟹$ ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n}$ is divergent

${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=0}$ $⟹̸$ ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n}$ is convergent (Counter Example: ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n}}$)

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2. 最單純的級數：p 級數、幾何級數

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^p(\ln n{)}^q}}$ is convergent if $p>1$ or $p=1,q>1$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^p(\ln n{)}^q}}$ is divergent if $p<1$ or $p=1,q\le 1$

幾何級數就看公比：$|r|<1$

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3. Integral Tests

使用條件：

1. $a_n$ 是正項級數（全部都負的話就翻成正的）
2. $a_n$ 遞減，可用 $f^{\prime }(x)$ 的正負來判斷是否遞減。

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ 的斂散性和 ${\int }_1^{\mathrm{\infty }}f(x)dx$ 相同。

證明：

收斂的部分用 DCT + MST 證：

發散的部分用 DCT 證：

數論裡面一些演算法的時間複雜度、函數成長速度就是用積分估算的。

調和級數：${\displaystyle \sum _{n=1}^N\frac{N}{n}\approx {\int }_1^N\frac{N}{x}dx=\mathrm{\Theta }(N\log N)}$

杜教篩：${\displaystyle N^{\frac{2}{3}}+\sum _{n=1}^{\lfloor N^{1/3}\rfloor }\sqrt{\frac{N}{n}}\approx N^{\frac{2}{3}}+{\int }_1^{N^{1/3}}\sqrt{\frac{N}{x}}dx=O(N^{\frac{2}{3}})}$

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4. Comparison Tests

使用條件：

1. $a_n$ 是正項級數（全部都負的話就翻成正的）

有分成 DCT 跟 LCT，但形式都滿單純的所以就不寫上來。

DCT 證明可以用 MST，而 LCT 證明可以先設 $m<a_n/b_n<M\Rightarrow m{b}_n<a_n<M{b}_n$ ，得出上下界後用 DCT。

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5. Alternating Series Test

使用條件：

1. $a_n$ 是交錯級數

以下兩個條件都要驗證，注意不能只驗證第 2 個：

1. $|a_n|$ 非嚴格遞減，即 $|a_n|-|a_{n+1}|\ge 0$
2. ${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}|a_n|=0}$

其實把 $s_n$ 放到數線上的話，不難發現 $s_n$ 會來回跳動，非嚴格遞減、收斂到 0 這兩個條件可以保證每次跳動的長度越來越小，振幅越小最後就會收斂在某個點上。

證明的話也很單純，以最後收斂的和 $s$ 作為分界點，會發現其中一邊是奇數另外一邊是偶數。先選擇其中一邊來證明收斂 (by MST)，最後另外一邊的證明就只要補上某一項讓奇偶性反轉，就可以不用兩邊都做 MST。

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6. Ratio/Root Test

Ratio Test: Let ${\displaystyle r=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}|\frac{a_{n+1}}{a_n}|}$

Root Test: Let ${\displaystyle r=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sqrt[n]{|a_n|}}$

If $r=1⟹$ converge.

If $r>1\vee r=\mathrm{\infty }⟹$ diverge.

If $r=1⟹$ fail.

事實上兩個 Test 等價，即：

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}|\frac{a_{n+1}}{a_n}|=r⟺\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sqrt[n]{|a_n|}=r\text{(Cauchy’s Second Theorem on Limits)}$$

餘項估計

定義 $s$ 為 ${\displaystyle \sum a_n}$ 收斂到的值。

定義 ${\displaystyle R_n=s-s_n=\sum _{k=n+1}^{\mathrm{\infty }}{a}_k}$。

有時候級數和沒有特定公式可以計算，只能取前面有限個項，餘項估計就是在考慮只取有限個項的情況下產生的誤差。

Integral Test

${\displaystyle {\int }_{n+1}^{\mathrm{\infty }}f(x)dx\le R_n\le {\int }_n^{\mathrm{\infty }}f(x)dx}$

${\displaystyle s_n+{\int }_{n+1}^{\mathrm{\infty }}f(x)dx\le s\le s_n+{\int }_n^{\mathrm{\infty }}f(x)dx}$

Alternating Series Test

$|R_n|\le |a_{n+1}|$